Matematiikka B1

Kiintopisteiteroinnilla tarkoitetaan kiintopisteyhtälön \(f(x) = x\) ratkaisemista seuraavalla tavalla. Valitaan alkuarvaus \(x_0\) ja lasketaan sen avulla \(x_1 = f(x_0)\), \(x_2 = f(x_1) = f(f(x_0))\), \(x_3 = f(x_2) = f(f(f(x_0)))\) jne. Näin saadaan lukujono \((x_n)\), jonka raja-arvo
$$a = \lim_{n\rightarrow\infty}x_n$$
on usein, muttei aina, kiintopisteyhtälön ratkaisu, ts. \(f(a) = a\).
Tarkastellaan seuraavassa kiintopisteyhtälöä
$$\sqrt{|1-x|}=x.$$

(a) Perustele kuvaajien avulla, että yhtälöllä on täsmalleen yksi ratkaisu \(a \in \mathbb{R}\).

(b) Määritä kiintopisteiteroinnin avulla ratkaisun likiarvo kahden desimaalin tarkkuudella, kun \(x_0 = 0,5\).

(c) Mitä kiintopisteiteroinnissa tapahtuu, kun \(x_0 = 10\), \(x_0 = 104\), \(x_0 = 10^{10}\) tai \(x_0 = 10^{100}\)? Saadaanko näillä alkuarvoilla yhtälön ratkaisun likiarvo?


Tehtävän neliöjuurta korjattu 1.8.2017.