(a) Kerro sanallisesti, mitä Pythagoraan lauseeseen liittyviä matemaattisia seikkoja YouTube-videolta käy ilmi.

(b) Selitä, miksi kyseinen empiirinen koe ei muodosta Pythagoraan lauseelle matemaattisesti pätevää todistusta.

Tehtävä on mukaelma tehtävästä, joka löytyy artikkelista M. Swan, Collaborative Learning in Mathematics.

Alla on 14 riviä jotka sisältävät lauseen, tai lauseen osan.

(a) Valitse ja järjestele rivit niin, että ne muodostavat seuraavan väitteen todistuksen: Jos $n$ on pariton luku, niin $n^2$ on pariton luku. Riittää, että kirjoitat kohtien luvut oikeaan järjestykseen.

(b) Valitse ja järjestele rivit niin, että ne muodostavat seuraavan väitteen todistuksen: Jos $n^2$ on pariton luku, niin $n$ on pariton luku. Riittää, että kirjoitat rivien luvut oikeaan järjestykseen.

Kaikkia kohtia ei välttämättä tarvitse käyttää.

1. Jos $n$ on pariton
2. Niin $n$ on pariton
3. $n = 2m + 1$, jollekin kokonaisluvulle $m$
4. $=2k$, missä $k=2m^2$
5. $(2m +1)^2=4m^2+4m +1$
6. Mutta $n^2$ on pariton
7. $(2m)^2=4m^2$
8. Joten $n^2$ on pariton
9. Jos $n$ on parillinen
10. $n=2m$, jollekin kokonaisluvulle $m$
11. Joten $n^2$ on parillinen
12. $=2k +1$, missä $k=2m(m+1)$
13. Jos $n^2$ on pariton
14. $n^2=2m+1$, jollekin kokonaisluvulle $m$

Rivejä 3 ja 12 päivitetty 18.9.2017.

Alla olevissa kuvissa on piirretty kahden funktion kuvaajat. Funktiot on muotoa $\frac{ax+b}{x+d}$ ja
$A\sin\left(\frac{x\pi}{C}\right) + B$, missä parametrit $a$, $b$, $d$, $A$, $B$ ja $C$ ovat kokonaislukuja ja $C > 0$. Päättele parametrien arvot. Vastauksia ei tarvitse perustella.

Laske ja sievennä seuraavat lausekkeet. Pelkkä vastaus riittää.

(a) $$(a + b)^3 – (a – b)^3$$

(b) $$D(\sin(x^2))$$

(c) $$\int_0^1 e^x \text{d}x$$

(a) Missä pisteessä suora $x – 5y = 4$ leikkaa $y$-akselin?

(b) Ratkaise yhtälö $4x^3 = 48$. Anna tarkka arvo ja kolmidesimaalinen likiarvo.

(c) Ratkaise yhtälö $2 \cdot 3^x = 162$.

Alla on viisi väittämää sekä kuusi kuviota. Valitse jokaisen kuvion kohdalla sen väittämän kirjain, joka pätee kyseisen kuvion tapauksessa. Yksi kirjaimista tulee kahden kuvion yhteyteen. Vastauksia ei tarvitse perustella.

A: $y$ on suoraan verrannollinen muuttujaan $x$.

B: $y$ on kääntäen verrannollinen muuttujaan $x$.

C: $y$ kaksinkertaistuu aina, kun muuttuja $x$ kasvaa yhdellä.

D: $y$ puolittuu aina, kun $x$ kasvaa yhdellä.

E: $y$ on suoraan verrannollinen muuttujan $x$ neliöön.

alt="" width="413" height="413" />	Tyhjä vastausABCDE
	Tyhjä vastausABCDE
	Tyhjä vastausABCDE
	Tyhjä vastausABCDE
	Tyhjä vastausABCDE
	Tyhjä vastausABCDE

Kiintopisteiteroinnilla tarkoitetaan kiintopisteyhtälön $f(x) = x$ ratkaisemista seuraavalla tavalla. Valitaan alkuarvaus $x_0$ ja lasketaan sen avulla $x_1 = f(x_0)$, $x_2 = f(x_1) = f(f(x_0))$, $x_3 = f(x_2) = f(f(f(x_0)))$ jne. Näin saadaan lukujono $(x_n)$, jonka raja-arvo
$$a = \lim_{n\rightarrow\infty}x_n$$
on usein, muttei aina, kiintopisteyhtälön ratkaisu, ts. $f(a) = a$.
Tarkastellaan seuraavassa kiintopisteyhtälöä
$$\sqrt{|1-x|}=x.$$

(a) Perustele kuvaajien avulla, että yhtälöllä on täsmalleen yksi ratkaisu $a \in \mathbb{R}$.

(b) Määritä kiintopisteiteroinnin avulla ratkaisun likiarvo kahden desimaalin tarkkuudella, kun $x_0 = 0,5$.

(c) Mitä kiintopisteiteroinnissa tapahtuu, kun $x_0 = 10$, $x_0 = 104$, $x_0 = 10^{10}$ tai $x_0 = 10^{100}$? Saadaanko näillä alkuarvoilla yhtälön ratkaisun likiarvo?

Tehtävän neliöjuurta korjattu 1.8.2017.

Leena haluaa tutkia kolmannen asteen polynomeja. Hän muodostaa polynomin $ax^3 + bx^2 + cx+d$ kertoimet $a$, $b$, $c$ ja
$d$ heittämällä noppaa. Millä todennäköisyydellä hänen polynominsa on kasvava? Jos hän muodostaa samalla tavalla 5 polynomia, niin millä todennäköisyydellä mikään niistä ei ole kasvava?

Voit käyttää tilanteen hahmottamisen apuna alla olevaa Geogebra-esimerkkiä, mutta pelkkä kokeilu ei riitä perusteluksi.

Kun Vaasan kaupunki paloi ja siirettiin 1850-luvulla piirsi kaupunginarkitehti Carl Axel Setterberg suoria esplanadeja, jotka olivat kohtisuorassa toisiaan kohden. Oheisessa kuvassa kaupungin keskusta on sijoitettu $xy$-koordinaatistoon. Vanha rautatie on oleellinen tehtävässä:
rautatien käyrä on väriltään harmaa ja rajaa kaupungin keskustan pohjoiseen.

(a) Luo matemaattinen malli rautatien käyrästä käyttämällä neljännen asteen polynomifunktiota $p(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$, kun käyrä käy läpi seuraavat viisi pistettä:
$(-4; 4, 8)$, $(-2; 5, 5)$, $(0, 4)$, $(2, 2)$ ja $(3, 2; 0)$. Malli pätee välillä $[-4; 3,2]$.
Ilmoita polynomin kertoimien likiarvot kolmen desimaalin tarkkuudella.

(b) Määritellään Vaasan keskusta alueeksi joka rajoittuu rautatien käyrään ja kohtisuoriin suoriin $x = -4, x = 3$ ja $y = -6$. Laske Vaasan keskustan pinta-ala, kun koordinaattijärjestelmän mittayksikkö on 150 metriä. Ilmoita vastaus hehtaareissa kolmen desimaalin tarkkuudella. Piirrä Vaasan keskusta kuvaan vasa.jpg.

Kuvaa parannettu 9.9.2017.
Tehtävän koordinaatteja korjattu puolipisteillä 1.8.2017.

Lataa seuraavat pisteet taulukkolaskentaohjelmaan sopivassa tiedostomuodossa:

• Open Document Format taulukkolaskenta (.ods)
• CSV-tiedosto, UTF-8 merkistö, desimaalipisteet ja kenttien erottimena pilkku
• CSV-tiedosto, UTF-8 merkistö, desimaalipisteet ja kenttien erottimena sarkain
• CSV-tiedosto, ISO-8859-1 merkistö, desimaalipisteet ja kenttien erottimena pilkku

Määritä keskeiset tunnusluvut: minimi, maksimi ja keskiarvo. Piirrä pisteparvi ja sovita siihen regressiosuora.

Mikä on suoran kulmakerroin? Mikä on todennäköinen muuttujan $y$ arvo, kun $x = 4,3$?

(a) Berätta med egna ord om de matematiska faktum om Pythagoras sats som framkommer i YouTube-videon.

(b) Berättä varför detta empiriska prov inte bildar ett matematiskt acceptabelt bevis för Pythagoras sats.

Uppgiften är adapterad från artickeln M. Swan, Collaborative Learning in Mathematics.

Nedan finns 14 rader, som innehåller en sats eller en del av en sats.

(a) Välj och ordna raderna så, att de bildar ett bevis till följande påstående: Om $n$ är ett udda tal, sä är $n^2$ ett udda tal. Det räcker, att du skriver radernas numror i rätt ordning.

(b) Välj och ordna raderna så, att de bildar ett bevis till följande påstående: Om $n^2$ är ett udda tal, så är $n$ ett udda tal. Det räcker, att du skriver radernas numror i rätt ordning.

Alla rader behöver nödvändigtvis inte användas.

1. Om $n$ är udda
2. Så är $n$ udda
3. $n = 2m + 1$, för något heltal $m$
4. $=2k$, då $k=2m^2$
5. $(2m +1)^2=4m^2+4m +1$
6. Men $n^2$ är udda
7. $(2m)^2=4m^2$
8. Alltså är $n^2$ udda
9. Om $n$ är jämt
10. $n=2m$, för något heltal $m$
11. Alltså är $n^2$ jämt
12. $=2k +1$, då $k=2m(m+1)$
13. Om $n^2$ är udda
14. $n^2=2m+1$, för något heltal $m$

Raderna 3 och 12 uppdaterats 18.9.2017.

I bilderna nedan finns två grafer till funktioner. Funktionerna är av formen $\frac{ax+b}{x+d}$ och
$A\sin\left(\frac{x\pi}{C}\right) + B$, där parametrarna $a$, $b$, $d$, $A$, $B$ och $C$ är hela tal och $C > 0$. Härled parametrarnas värden. Svaren behöver inte motiveras.

Räkna och föränkla följande uttryck. Skriv endast svaret.

(a) $$(a + b)^3 – (a – b)^3$$

(b) $$D(\sin(x^2))$$

(c) $$\int_0^1 e^x \text{d}x$$

(a) I vilken punkt skärs $y$-axeln av linjen $x – 5y = 4$?

(b) Lös ekvationen $4x^3 = 48$. Ange det exakta värdet och närmevärde med tre decimalers noggrannhet.

(c) Lös ekvationen $2 \cdot 3^x = 162$.

Nedan finns fem påståenden och sex figurer. Välj vid varje bild bokstaven för det påstående som gäller för ifrågavarnde figur. En av bokstaverna ska finnas vid två figurer. Svaren behöver inte motiveras.

A: $y$ är direkt proportionell mot variabeln $x$.

B: $y$ är omvänt proportionell mot variabeln $x$.

C: $y$ fördubblas alltid, då variabeln $x$ ökas med en enhet.

D: $y$ halveras alltid, då variabeln $x$ ökas med en enhet.

E: $y$ är direkt proportionell mot kvadraten på variabeln $x$.

	Tomt svarABCDE
	Tomt svarABCDE
	Tomt svarABCDE
	Tomt svarABCDE
	Tomt svarABCDE
	Tomt svarABCDE

Med fixpunktsiteration menas lösning av fixpunktsekvationen $f(x) = x$ genom följande sätt. Vi väljer första gissningen $x_0$ och beräknar med hjälp av den $x_1 = f(x_0)$, $x_2 = f(x_1) = f(f(x_0))$, $x_3 = f(x_2) = f(f(f(x_0)))$ osv. På detta sätt får vi en talfölj $(x_n)$, vars gränsvärde
$$a = \lim_{n\rightarrow\infty}x_n$$
är ofta, men inte alltid, lösningen av fixpunktsekvationen, dvs. $f(a) = a$.
Vi undersöker följande fixpunktsekvation
$$\sqrt{|1-x|}=x.$$

(a) Motivera genom grafer, att ekvationen har exakt en lösning $a \in \mathbb{R}$.

(b) Bestäm genom fixpunktsiteration lösningens närmevärde med två decimalers någgranhet, när $x_0 = 0,5$.

(c) Vad händer med fixpunktsiterationen, när $x_0 = 10$, $x_0 = 104$, $x_0 = 10^{10}$ eller $x_0 = 10^{100}$? Får vi med dessa första gissningar ett närmevärde för ekvationens lösning?

Uppgiftens kvadratrot korrigerats 1.8.2017.

Leena vill undersöka polynom av tredje graden. Hon konstruerar polynomets $ax^3 + bx^2 + cx+d$ koefficienter $a$, $b$, $c$ och $d$ genom att kasta tärning. Med vilken sannolikhet är hennes polynom växande? Om hon konstruerar 5 polynom på samma sätt, med vilken sannolikhet är inget av dem växande?

Du kan använda Geogebra-exemplet nedan för att gestalta situationen, men bara prövning räcker inte som svar.

Då staden Vasa på 1850-talet brann ner och skulle flyttas ritade stadsarkitekten Carl Axel Setterberg upp raka esplanader som stod vinkelrätt mot varandra. I den bifogade bilden är stadens centrum inplacerat i ett $xy$-koordinatsystem. Den gamla järnvägen är central i uppgiften:
järnvägskurvan är färgad grå och avgränsar stadens centrum norrut.

(a) Gör en matematisk modell av järnvägskurvan genom att använda en polynomfunktion av fjärde graden $p(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$, då kurvan går genom följande fem punkter:
$(-4; 4, 8)$, $(-2; 5, 5)$, $(0, 4)$, $(2, 2)$ och $(3, 2; 0)$. Modellen gäller i intervallet $[-4; 3,2]$.
Ange polynomets koefficienter som närmevärden med tre gällande siffror.

(b) Vi definierar Vasa centrum som det område som avgränsas av järnvägskurvan samt de räta linjerna $x = -4, x = 3$ och $y = -6$. Beräkna arean av Vasa centrum, då koordinatsystemets längdenhet är 150 meter. Ange svaret i hektar med tre gällande siffror. Rita in Vasa centrum i bilden vasa.jpg.

Bilden förbättrats 9.9.2017.
Uppgiften korrigerats 1.8.2017 med semikolon i koordinaterna.

Ladda ner följande punkter i ett tabellkalkylsprogram i passligt format:

• Open Document Format kalkylbladsformat (.ods)
• CSV-fil, UTF-8 teckenset med komma som fältavgränsare och punkt som decimaltecken
• CSV-fil, UTF-8 teckenset med tabulator som fältavgränsare och punkt som decimaltecken
• CSV-fil, ISO-8859-1 teckenset med komma som fältavgränsare och punkt som decimaltecken

Bestäm de centrala indikatorerna: minimum, maximum och medeltal. Rita ett punktdiagram och anpassa en regressionslinje i den.

Vad är linjens riktningskoefficient? Vad är ett sannolikt värde för variabeln $y$, då $x = 4,3$?